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Aufgabe Variante 1 über Transformation Variante 2 mit Ausgleichung bereits im Universalrechner Berechnung des Zylinders Ergebnis und Rechenprobe In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert. Ihre eigene Ausgabe unterscheidet sich möglicherweise in der Darstellung etwas, abhängig von Ihren .

≡ START Anleitung English Aufgabe

Auf einem schräg im Raum liegenden Zylinder wurden tachymetrisch 7 Punkte gemessen,

• drei Punkte A,B,C auf der Grundfläche,
• drei Punkte D,E,F auf der Mantelfläche
• und ein Punkt G auf der Deckfläche.

Die vier Punkte A,B,C,D wurden vom Standpunkt 1 gemessen, die vier Punkte D,E,F,G vom Standpunkt 2. Außerdem erfolgte eine gegenseitige Messung zwischen 1 und 2.

Berechnen Sie das Volumen des Zylinders.

Messwerte

Standp. Horizontal- Zenit-   Schräg-    Standp. Horizontal- Zenit-  Schräg-
   1    richtung    winkel   distanz      2     richtung    winkel  distanz
Zielp.  [gon]       [gon]    [m]        Zielp.  [gon]       [gon]   [m]
   2    388.800     108.413  7.740        1     181.840     91.586  7.740
   A    291.369      88.351  7.183        D     251.586     82.532  7.485
   B    299.106     100.796  6.484        E     262.696     70.066  7.335
   C    296.762     103.699  8.743        F     281.311     64.742  7.621
   D    326.947      91.774  7.824        G     300.997     67.896  9.083

≡ START Anleitung English Variante 1 über Transformation

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	1 100 100 100 Wir legen ein lokales Koordinaten-system in 1 fest. Die X-Achse verläuft in Richtung von Teilkreisnull, weil unten der Orientierungswinkel gleich Null gesetzt wurde.
	Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte: Orientierungswinkel dritte Spalte: Instrumentenhöhe vierte Spalte: Ausfallzielhöhe fünfte Spalte: Code / nicht benutzt Format Zielpunktzeile zweite Spalte: Horizontalrichtung dritte Spalte: Zenitwinkel vierte Spalte: Schrägdistanz fünfte Spalte: Code / nicht benutzt	1 0 0 0 2 388.800 108.413 7.740 A 291.369 88.351 7.183 B 299.106 100.796 6.484 C 296.762 103.699 8.743 D 326.947 91.774 7.824 Damit Höhen (Z) berechnet werden können, müssen immer Instrumenten- und Zielhöhen angegeben werden. Diese sind im vorliegenden Fall beliebig wählbar. Die Reihenfolge der Zielpunkte ist immer beliebig.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Berechnung lokaler Standpunktkoordinaten

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X
1	100	100	100

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel,
r steht für Horizontalrichtung,
v steht für Zenitwinkel,
s steht für Schrägdistanz
und th für Zielhöhe.

StandPname	o	ih
1	0	0

ZielPname	r	v	s		th
2	388.800	108.413	7.740		0
A	291.369	88.351	7.183		0
B	299.106	100.796	6.484		0
C	296.762	103.699	8.743		0
D	326.947	91.774	7.824		0

5 berechnete Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

Die berechneten Koordinaten der Zielpunkte in Liste 1 laden und speichern.

PName	Y	X	Z
2	92.925971046516	103.1869592870	101.0081571644
A	91.283041710142	99.55625198881	99.49228465117
B	93.517146116274	99.90895582215	99.91892916713
C	93.001729843519	99.04535028512	101.3070377725
D	98.657133311294	107.5540826190	98.98012508520

Liste 1 bearbeiten/ansehen

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	2 100 100 100 Mit dem Standpunkt 2 verfahren wir genauso. Die beiden Standpunktsysteme sind voneinander verschieden, nur die Z-Achsen sind parallel ausgerichtet.

	Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte: Orientierungswinkel dritte Spalte: Instrumentenhöhe vierte Spalte: Ausfallzielhöhe fünfte Spalte: Code / nicht benutzt Format Zielpunktzeile zweite Spalte: Horizontalrichtung dritte Spalte: Zenitwinkel vierte Spalte: Schrägdistanz fünfte Spalte: Code / nicht benutzt	2 0 0 0 1 181.840 91.586 7.740 D 251.586 82.532 7.485 E 262.696 70.066 7.335 F 281.311 64.742 7.621 G 300.997 67.896 9.083 Damit Höhen (Z) berechnet werden können, müssen immer Instrumenten- und Zielhöhen angegeben werden. Diese sind im vorliegenden Fall beliebig wählbar. Die Reihenfolge der Zielpunkte ist immer beliebig.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Berechnung lokaler Standpunktkoordinaten

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X
2	100	100	100

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel,
r steht für Horizontalrichtung,
v steht für Zenitwinkel,
s steht für Schrägdistanz
und th für Zielhöhe.

StandPname	o	ih
2	0	0

ZielPname	r	v	e		th
1	181.840	91.586	7.740		0
D	251.586	82.532	7.485		0
E	262.696	70.066	7.335		0
F	281.311	64.742	7.621		0
G	300.997	67.896	9.083		0

5 berechnete Punkte: Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

Die berechneten Koordinaten der Zielpunkte in Liste 2 laden und speichern.

PName	Y	X	Z
1	92.048640604195	100.12453514374	104.38876563019
D	93.795523366137	98.124382804271	104.00826282009
E	94.551876522435	96.383892740204	103.32324297319
F	94.779967795948	95.033788465294	102.02811039670
G	102.15906905544	92.637552707965	101.01999543423

Liste 2 bearbeiten/ansehen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit Gon [-200...200] Grad [-180...180] Bogenminuten [-10800...10800] Bogensekunden [-648000...648000] GradMinSek [-180...180] Radiant [-π...π ] Vollwinkel [-½...½ ]   Notiz

Quellsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	// aus Tachymetrie : Universalrechner // Berechnung lokaler Standpunktkoord. 2 98.6571333113 107.55408262 98.98012508 A 93.0017298435 99.045350285 101.3070378 B 93.5171461163 99.908955822 99.91892917 C 91.2830417101 99.556251989 99.49228465 D 92.9259710465 103.18695929 101.0081572 1 100 100 100 Lade hier Liste 1. Der Punkt 1 muss manuell ergänzt werden.
Zielsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	// aus Tachymetrie : Universalrechner // Berechnung lokaler Standpunktkoord. 1 102.15906905 92.637552708 101.01999543 D 94.779967796 95.033788465 102.02811040 E 94.551876522 96.383892740 103.32324297 F 93.795523366 98.124382804 104.00826282 G 92.048640604 100.12453514 104.38876563 2 100 100 100 Lade hier Liste 2. Der Punkt 2 muss manuell ergänzt werden.
Gewichte	für erste, zweite (und dritte) Koordinate
Quellsystem
Zielsystem

Setze gleiche Gewichte für alle Koordinaten. Eine 2D-Transformation reicht aus, weil die Z-Achsen der Stand­punktsysteme schon parallel ausgerichtet sind. Jedoch muss ein Ausgleich des verti­kalen Offsets erfolgen, weil die Z-Nullpunkte nicht gleich sind.

Transf.typen 2D, aber vertikalen Offset ausgleichen

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Vereinigung der Standpunktsysteme

Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem ⇒ Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

Standpktsystem 1: 6 Punkte, Standpktsystem 2: 6 Punkte, 3 identische Punkte

Pname	y	x	z	Y	X	Z
1	100.0000000	100.0000000	100.00000	102.1590691	92.6375527	101.02000
2	98.6571333	107.5540826	98.98013	100.0000000	100.0000000	100.00000
A	93.0017298	99.0453503	101.30700
B	93.5171461	99.9089558	99.91893
C	91.2830417	99.5562520	99.49228
D	92.9259710	103.1869593	101.00820	94.7799678	95.0337885	102.02810
E				94.5518765	96.3838927	103.32320
F				93.7955234	98.1243828	104.00830
G				92.0486406	100.1245351	104.38880
Gewichte	1	1	∞	1	1	∞

vertikaler Offset: Ziel - Quell = 1.0199

Eine Rotation und Translation reicht aus. Der Maßstab sollte in beiden Systeme übereinstimmen (m=1).

Transformation mit festem Maßstab (m=1)

Die Methode der Kleinsten Quadrate konvergierte nach 8 Iterationen.

X Y

=

-17.6758945 13.6666266

+

0.99403021 0.10910454 -0.10910454 0.99403021

.

x y

berechn.	Standpktsystem 1			Standpktsystem 2
Punkte	y	x	z	Y	X	Z
1	99.9999364	99.999993	103.36887	102.159132	92.6375668	101.388766
2	98.6570512	107.55406	102.98836	100.000080	100.000027	100.008263
A	93.0017298	99.045350	102.30334	95.3068586	90.9250871	102.323243
B	93.5171461	99.908956	101.00818	95.7249747	91.8397714	100.028084
C	91.2830417	99.556252	99.492285	93.5426890	91.2454222	100.512185
D	92.9261167	103.18698	99.918929	94.7798258	95.0337472	102.938829
E	92.8468353	104.55394	101.30704	94.5518765	96.3838927	103.326938
F	92.2848927	106.36656	98.980113	93.7955234	98.1243828	104.000013
G	90.7666640	108.54537	100.00005	92.0486406	100.124535	104.019948
Restkl.	y	x	z	Y	X	Z
1	6.36112e-5	7.16718e-6	-4.7715e-5	-6.2450e-5	-1.4065e-5	4.7715e-5
2	8.20813e-5	1.83265e-5	1.25400e-5	-7.9592e-5	-2.7173e-5	-1.254e-5
D	-1.4569e-4	-2.5494e-5	-2.6600e-5	1.42041e-4	4.12372e-5	2.6600e-5

Alle Restklaffungen sind klein. Nun die Koordinaten­listen speichern, so dass alle Punkte in beiden Standpunkt­systemen koordiniert sind.

beide Listen berechneter Punkte

≡ START Anleitung English Variante 2 mit Ausgleichung bereits im Universalrechner

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	1 100 100 100 Wir lassen jetzt beide Standpunkte gemeinsam als geodätisches Netz auswerten. Das Koordinatensystem wird auf dieselbe Weise wie bisher, aber nur im Standpunkt 1 verankert.

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)

zweite Spalte: Orientierungswinkel dritte Spalte: Instrumentenhöhe vierte Spalte: Ausfallzielhöhe fünfte Spalte: Code / nicht benutzt Format Zielpunktzeile zweite Spalte: Horizontalrichtung dritte Spalte: Zenitwinkel vierte Spalte: Schrägdistanz fünfte Spalte: Code / nicht benutzt

1 0 0 0 2 388.800 108.413 7.740 A 291.369 88.351 7.183 B 299.106 100.796 6.484 C 296.762 103.699 8.743 D 326.947 91.774 7.824 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 ;; 0 0 1 181.840 91.586 7.740 D 251.586 82.532 7.485 E 262.696 70.066 7.335 F 281.311 64.742 7.621 G 300.997 67.896 9.083 Im Standpunkt 2 darf jetzt kein Orientierungs­winkel festgelegt werden, weil die Orientierung der Koordinatenachsen schon durch Teilkreisnull auf Standpunkt 1 definiert wurde. Man könnte die Reihenfolge der Standpunkt­zeilen­elemente ändern, oder man markiert ein leeres Feld durch '';;''. Siehe hierzu Tabellarische Datensätze

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Ausgleichung bereits im Universalrechner

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X
1	100	100	100

Eingabe-Messwerte

StandPname	o	ih
1	0	0

ZielPname	r	v	s		th
2	388.8000	108.4130	7.740000		0
A	291.3690	88.3510	7.183000		0
B	299.1060	100.7960	6.484000		0
C	296.7620	103.6990	8.743000		0
D	326.9470	91.7740	7.824000		0

StandPname	o	ih
2		0

ZielPname	r	v	s		th
1	181.8400	91.58600	7.740000		0
D	251.5860	82.53200	7.485000		0
E	262.6960	70.06600	7.335000		0
F	281.3110	64.74200	7.621000		0
G	300.9970	67.89600	9.083000		0

8 berechnete Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

Punktname	Y	X	Z
2	98.656847145798	107.55401592229	98.98000059523
A	93.001729843519	99.04535028512	101.3070377725
B	93.517146116274	99.90895582215	99.91892916713
C	91.283041710142	99.55625198881	99.49228465117
D	92.926161660476	103.1872102283	101.0082299810
E	92.846729292146	104.5538897274	102.3032435684
F	92.284763503364	106.3665119334	102.9882634153
G	90.766516381641	108.5453170778	103.3687662254

Liste 1 bearbeiten / filtern / speichern / ansehen Liste 2 bearbeiten / filtern / speichern / ansehen

≡ START Anleitung English Berechnung des Zylinders

Die berechneten Koordinaten der beiden Varianten unterscheiden sich kaum: nur um maximal 0.0002. Zum Beweis kann man beide in verschiedene Listen speichern und . Weiter arbeiten wir nur mit den Koordinaten des Standpunktsystems 1 von Variante 1.

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Ausgleichende Flächen

Nun wird durch die Punkte A,B,C eine Ebene berechnet, die Grundebene des Zylinders. D,E,F, werden senkrecht auf diese Ebene projiziert.

Durch gegebene Stützpunkte im 3D-Raum wird eine ausgleichende (d.h. bestanpassende) Fläche (Ebene, Kugel, Ellipsoid oder allgemeine Quadrik) berechnet. Auch eine Ebene durch 3 Punkte, eine Kugel durch 4 Punkte usw. kann berechnet werden. Weitere Punkte können auf die Flächen projiziert werden.

Notiz

Stützpunkte	Punktnamen und je drei Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	// gespeicherte Transformation mit festem Maßstab (m=1) // Quellsystem // Vereinigung der Standpunktsysteme A 93.001729844 99.04535028 101.30700000 B 93.517146116 99.90895582 99.91893000 C 91.283041710 99.55625199 99.49228000
Gewichte
Zu projizierende Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Typ & Format wie oben 2D-Punkt: Finde dritte Koordinate, so dass Punkt auf der Fläche liegt. 3D-Punkt: Finde nächst­gelegenen Punkt auf der Fläche und berechne Abstand.	D 92.926116738 103.18698479 101.00818833 E 92.846835305 104.55394070 102.30327667 F 92.284892708 106.36656221 102.98837667 G 90.766663960 108.54536720 103.36887667 Liste 1 laden, die Punkte 1 und 2 löschen und Punkte D,E,F,G in ''Zu projizierende Punkte'' verschieben. Gewichte werden nicht benötigt.

Suffix für Namen projizierter Punkte

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Ausgleichende Flächen

Ausgleichende Ebene

0.86268862705885 · X -0.22289007105199 · Y + 0.45396954630213 · Z = 110.70642790396

Punkt-	projizierte Punkte			Differenzvektoren
name	Y	X	Z	Y	X	Z
D*	93.696010917	100.20713491	99.440112599	0.7699	-2.9798	-1.5681
E*	94.014556840	100.03431323	99.924929296	1.1677	-4.5196	-2.3783
F*	93.898393030	100.12156273	99.702092962	1.6135	-6.2450	-3.2863
G*	92.913041798	100.23788297	98.997258999	2.1464	-8.3075	-4.3716

Räumliche Polygone

Aus der Länge des Differenzvektors zwischen dem Punkt G und seiner Projektion entnimmt man direkt die Höhe des Zylinders: (2.1464²+8.3075²+4.3716²)^½=9.6298. Der Radius des Zylinders stimmt mit dem Radius des Kreises durch die projizierten Punkte D,E,F überein, den man wie folgt berechnet: Laden Sie die projizierten Punkte in und löschen Sie vor dem Berechnen den Punkt G.

IN DUBIO PRO GEO 3D-Raum : Räumliche Polygone

Räumliche Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: schräge Polygon- und Zenitwinkel, Seitenlängen, Umfang etc.

Winkeleinheit Gon [-200...200] Grad [-180...180] Bogenminuten [-10800...10800] Bogensekunden [-648000...648000] GradMinSek [-180...180] Radiant [-π ...π ] Vollwinkel [-½ ...½ ]    Notiz

System	Punktnamen und je drei Koordinaten
Systemtyp: Y X Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten Polylinie	// aus Ausgleichung : Ausgleichende Flächen // Berechne Ebene durch A,B,C und projiziere D,E,F,G senkrecht auf diese Ebene D* 93.696010917 100.20713491 99.440112599 E* 94.014556840 100.03431323 99.924929296 F* 93.898393030 100.12156273 99.702092962

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO 3D-Raum : Räumliche Polygone

Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X	Z	Polygonwinkel
D*	93.696010917	100.20713491	99.440112599	394.76511997
E*	94.014556840	100.03431323	99.924929296	393.26619667
F*	93.898393030	100.12156273	99.702092962	211.96868336

Seitenlängen und Vertikalwinkel

von	nach	Seitenlänge	Zenitwinkel	Höhenwinkel
D*	E*	0.605298330	40.8651212	59.134878829
E*	F*	0.266012289	163.2190937	-63.219093745
F*	D*	0.341928104	155.5695299	-55.569529961

Flächeninhalt -0.0084998517816189
Umfang 1.2132387222572    
Umkreisradius 1.6193272686965
Inkreisradius 0.014011837284265

≡ START Anleitung English Ergebnis und Rechenprobe

Aus dem Radius 1.62 m und der Höhe 9.63 m berechnet man schnell das Volumen des Zylinders: π·1.62² m²· 9.63 m = 79.4 m³.
Rechenprobe für Variante 1: Wiederholen Sie die Berechnung mit Standpunktsystem 2, welches noch immer in zur Verfügung steht.
Rechenprobe für Variante 2: Wiederholen Sie die Berechnung, indem Sie das Koordinatensystem im Standpunkt 2 verankern.
Radius und Höhe stimmen überein.

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