≡ START Erste Schritte English Anleitung : Transformation über identische Punkte

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IN DUBIO PRO GEO berechnet ebene und räumliche Koordinatentransformationen, das sind Umrechnungen von Punktkoordinaten eines Quellsystems in Koordinaten eines Zielsystems. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Achsen der Systeme irgendwie näherungsweise ausgerichtet sind. Koordinaten werden über eingegeben.

Kartesische Linkssysteme, kartesische Rechtssysteme (XYZ) und Gittersysteme (Nordwert,Ostwert,Höhe) (oder andere Koordinatenreihenfolge) können unmittelbar transformiert werden. Ellipsoidische Systeme (Länge,Breite,Höhe) müssen erst mit umgerechnet werden. Siehe Koordinatensystemtyp.

Die Koordinaten im Quellsystem werden immer mit x,y,z und die im Zielsystem mit X,Y,Z bezeichnet. Bei Gitterkoordinaten entspricht Nord = x und/oder X, Ost = y und/oder Y und Höhe = z und/oder Z.

≡ START Erste Schritte English Identische Punkte und zu transformierende Neupunkte

Identische Punkte werden automatisch an identischen Punktnamen erkannt. Wann immer möglich, werden zunächst Transformationsparameter aus diesen Koordinaten berechnet.

Zusätzlich können Punkte vorliegen, die nur in einem der beiden Systeme gegebene Koordinaten haben (Neupunkte). Auf diese Punkte wird die berechnete Transformation angewendet. Neupunkte können zugleich in beiden Systemen vorliegen.

Alle Punkte können in den Koordinatenlisten in beliebiger Reihenfolge angegeben werden.

≡ START Erste Schritte English System der Transformationsgleichungen

Alle implementierten geodätischen Koordinatentransformationen werden berechnet, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

• Genügend identische Punkte müssen vorhanden sein.
• Die identischen Punkte sind so konfiguriert, dass eine eindeutige Transformationslösung existiert, d.h. ein reguläres Gleichungssystem entsteht.
• Falls die Parameter iterativ berechnet werden müssen: Die identischen Punkte passen mindestens näherungsweise aufeinander (kleine Restklaffungen).

Alle Transformationen gehen von folgendem Grundmuster der Transformationsgleichungen aus:

Die Reihenfolge der Komponenten von v, V, t, T ist immer XYZ, selbst wenn die Koordinaten in den eine andere Reihenfolge haben. Je nach Transformationstyp erzeugt T

• Reflexion = Spiegelung von Linkssystem nach Rechtssystem oder umgekehrt
• Rotation = Drehung
• Transvektion = Scherung
• Skalierung = Maßstabsänderung, bei Gittersystemen zuzüglich zum Gittermaßstabsfaktor

Für jede berechnete Transformation werden die Transformationsgleichungen in dieser Form ausgegeben, so dass mit ihnen alle weiteren gewünschten Berechnungen erfolgen können, z.B. die Transformation weiterer Punkte. Oft ist es aber zweckmäßiger, die Transformation durch Transformationsparameter zu beschreiben. Es gibt dazu eine Vielzahl von Möglichkeiten, die hier nahezu vollständig unterstützt werden:

Am einfachsten stellt man T als Produkt von bis zu 3 Matrizen dar:

• Orthogonalmatrix Q, bewirkt eine Drehung (Rotationsmatrix, falls detQ = +1) und ggf. eine zusätzliche Reflexion (falls detQ = −1)
• obere normierte Dreiecksmatrix S (das ist eine Matrix mit Einsen auf der gesamten Hauptdiagonale und ausschließlich Nullen darunter), bewirkt eine Scherung
• Diagonalmatrix M, bewirkt Maßstabsänderungen (Skalierungen), ggf. sind alle Maßstäbe gleich, so dass nur ein skalarer Faktor m wirksam wird, d.h. M = m·I mit Einheitsmatrix I.

Die einzelnen Transformationstypen unterscheiden sich nur danach, welche Faktoren T enthält und in welcher Reihenfolge. Bei der Affintransformation kann T in alle drei Faktoren in beliebiger Reihenfolge zerlegt werden:

T = Q₁M₁S₁ = Q₂S₂M₂ = M₃S₃Q₃ = S₄M₄Q₄

Die Faktoren selbst hängen im Allgemeinen von der Reihenfolge der Zerlegung ab, z.B. hätte man S₁ ≠ S₂ ≠ S₃ ≠ S₄. Alle genannten Zerlegungen werden berechnet.

≡ START Erste Schritte English Ebene Transformationen (2D)

Z-Koordinaten oder Höhen werden durch ebene Transformationen nicht beeinflusst, können also auch fehlen. Wenn einige oder alle Punkte in Gittersystemen Höhen besitzen, werden diese nur benutzt, um den Gittermaßstabsfaktor zu bestimmen.

Wann immer möglich, wird im 2D-Fall Folgendes der Reihe nach berechnet:

Der Translationsvektor t und die Matrizen Q, S, M haben folgende Darstellung:

Der Rotationswinkel ε ist der Drehwinkel des Quellsystems ins Zielsystem um den Koordinatenursprung. Im Linkssystem bedeutet ε>0 eine Drehung im Uhrzeigersinn, im Rechtssystem umgekehrt.

Nach einer Scherung schließen die Achsen des Quellsystems im Zielsystem keinen rechten Winkel mehr ein, sondern einen um den Scherwinkel τ kleineren Winkel oder um -τ größeren Winkel. Im Berechungsprotokoll wird auch der Scherfaktor f = tan(τ) ausgewiesen.

Die Maßstabsfaktoren m_x , m_y sind stets positiv und bei einigen Transformationstypen gleich groß. m_x = m_y = m > 1 bedeutet, dass die Punkte durch die Transformation auseinandergezogen werden. Der oder die Gittermaßstabsfaktoren sind hierin noch nicht enthalten. Ändert man z.B. den Systemtyp von Gitter in kartesisch, ändern sich möglicherweise die berechneten Maßstabsfaktoren.

≡ START Erste Schritte English Räumliche Transformationen (3D)

Alle Punkte müssen hierfür drei Koordinaten besitzen. Wird der Transformationstyp automatisch erkennen gewählt, werden räumliche Transformationen immer dann berechnet, wenn diese Bedingung erfüllt ist und die dritten Koordinaten der gegebenen Punkte nicht alle identisch sind. Andernfalls wird versucht, ebene Transformationen zu berechnen.

Wann immer möglich, wird im 3D-Fall Folgendes der Reihe nach berechnet:

Der Translationsvektor t und die Matrizen S, M haben folgende Darstellungen:

Die 3D-Scherung beschrieben durch S kann man sich als eine Folge von drei ebenen Scherungen vorstellen, und zwar

1. eine Scherung von y- und z-Achse mit Scherwinkel τ_yz
2. eine Scherung von x- und z-Achse mit Scherwinkel τ_xz
3. eine Scherung von x- und y-Achse mit Scherwinkel τ_xy

Wenn man die erste und zweite oder die zweite und dritte ebene Scherung vertauscht, erhält man näherungsweise dieselben Schwerwinkel τ_ij, wenn diese klein sind. Im Berechungsprotokoll werden auch die Scherfaktoren f_ij = tan(τ_ij) ausgewiesen.

Die 3D-Skalierung hat bis zu drei Maßstabsfaktoren. Die beiden Maßstabsfaktoren bei ebenen Transformationen werden noch um einen dritten Maßstabsfaktor m_z ergänzt.

Die Matrix Q ist im Fall ohne Reflexion eine Rotationsmatrix und kann auf folgende drei verschiedenen Arten durch Parameter dargestellt werden:

(a) mit drei Euler-Winkeln ε_x , ε_y , ε_z:

Die gesamte Rotation kann man in eine Folge von drei Rotationen um Koordinatenachsen zerlegen. Wir nutzen hier die geodätische Konvention:

1. Rotation um x-Achse, Rotationswinkel ε_x
2. Rotation um y-Achse, Rotationswinkel ε_y
3. Rotation um z-Achse, Rotationswinkel ε_z

Es sind auch andere Festlegungen gebräuchlich, vor allem in nicht-geodätischen Bereichen.

(b) mit dem Quadrupel der Einheitsquaternion (q₀ , q₁ , q₂ , q₃):

Eine Quaternion erlaubt in vielen Fällen eine rechnerisch elegantere Beschreibung von Rotationen in drei Dimensionen, als Euler-Winkel. Die vier Parameter genügen der Bedingung q₀²+q₁²+q₂²+q₃²=1 (Einheitsquaternion).

(c) mit Euler-Achse (e_x , e_y , e_z) als Einheitsvektor und Rotationswinkel ε um diese Achse:

Die Rotation wird hier um eine schräg im Raum liegende Achse durch den Koordinatenursprung beschrieben, die sogenannte Euler-Achse. Die Parameter genügen der Bedingung e_x²+e_y²+e_z²=1 (Einheitsvektor).

Alle Winkel ε_x, ε_y, ε_z, ε werden zwischen -π = -180° = -200 gon und π = 180° = 200 gon in der gewählten Winkeleinheit berechnet. Sie sind

• bei Linkssystemen positiv im Uhrzeigersinn,
• bei Rechtssystemen positiv gegen den Uhrzeigersinn

definiert. Der Blick ist hierfür entgegen der Rotationsachse gerichtet. Negative Rotationswinkel ε werden durch Umkehrung der Orientierung der Euler-Achse vermieden.

Es sind auch andere Festlegungen gebräuchlich, vor allem in nicht-geodätischen Bereichen.

Ist schließlich das Quellsystem ein Linkssystem und das Zielsystem ein Rechtssystem oder umgekehrt, muss T zusätzlich noch eine Reflexion erzeugen. Das Anzeichen dafür ist det(T)<0. Wir erreichen dies durch Spiegelung an der yz-Ebene.

≡ START Erste Schritte English Ebene Transformationen mit Ausgleich des vertikalen Offsets

Es wird in diesem Fall vorausgesetzt, dass die vertikalen Achsen (Z oder Höhe) beider Systeme parallel sind und denselben Maßstab haben. Aus allen identischen Punkten, die in beiden Systemen drei Koordinaten besitzen, wird der vertikale Offset berechnet. Mindestens einen solchen Punkt muss es geben. Mit diesem Offset werden nicht-identische Punkte ins jeweils andere System transformiert. Auf die anderen beiden Koordinaten werden möglichst alle oben genannten ebenen Transformationen angewendet.

≡ START Erste Schritte English Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate

Sind mehr Koordinaten identischer Punkte vorhanden, als die Transformation Parameter besitzt (Redundanz), erfolgt die Ausgleichung durch die Methode der gewichteten kleinsten Quadrate. In diesem Fall werden Genauigkeitsmaße für die Koordinaten identischer Punkte benötigt, entweder als Standardabweichung σ oder als Gewicht p . Im ersten Fall wird ein Gewicht berechnet entsprechend p=1/σ². Es gibt hierzu zwei verschiedene Modi:

Einfache Gewichtung (Standardmodus)

Genauigkeitsmaße können für alle gleichartigen Koordinaten gleich groß gewählt werden, so dass es bis zu sechs solche Maße geben kann.

Individuelle Gewichtung (Expertenmodus)

Hiermit können Sie jeder Koordinate jedes identischen Punktes ein individuelles Genauigkeitsmaß zuweisen.

Nach der Ausgleichung verbleiben häufig sogenannte Restklaffungen. Diese entsprechen betragsmäßig den Verbesserungen der Ausgleichung, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen:

  Restklaffung = gegebene Koordinate − aus Transformationsparametern berechnete Koordinate

Unter der Motorhaube: Intern arbeitet IN DUBIO PRO GEO immer mit den Elementen von t und T als Ausgleichungsparameter. Das sind bei ebenen Transformationen immer 6 und bei räumlichen Transformationen immer 12 Parameter. Bei allen Nicht-Affintransformationen wird die Einschränkung auf spezielle Transformationsmatrizen T durch Bedingungsgleichungen für die Elemente von T vorgenommen. Erst nach der Ausgleichung werden daraus durch QR oder RQ-Faktorisierung von T die Maßstabs-, Scher- und Rotationsparameter berechnet. Insofern sind die Ausgleichungsparameter von den Transformationsparametern zu unterscheiden, außer bei der Affintransformation.

≡ START Erste Schritte English Parameter der Rücktransformation

Falls auch die Transformationsparameter der Rücktransformation vom Ziel- ins Quellsystem gebraucht werden, kann die Transformationsrichtung durch Tauschen der Systeme geändert werden. Beachten Sie, dass die Parameter der umgekehrten Transformationen nicht immer durch Ändern der Vorzeichen der Winkel und durch Invertierung der Maßstabsfaktoren erhalten werden.

≡ START Erste Schritte English Quader aus vier Eckpunkten

Vier Eckpunkte A,B,E,H eines schräg im Raum liegenden Quaders ABCDEFGH wurden mit Tachymeter gemessen (⇒ Abbildung). Mit einer Standardabweichung von 0.02 wurden die folgenden Koordinaten im Standpunktsystem (kartesisches Linkssystem) X,Y,Z erhalten:

    X        Y        Z
A   14.029   17.058    8.073   
B   23.616   29.751    5.516   
E   14.272   20.210   24.880
H   32.863    6.737   27.163

Für die nicht anzielbaren Punkte C,D,F,G des Quaders sollen die Koordinaten im selben System bestimmt werden.

   x  y  z
A  0  0  0
B  0  1  0
C  1  1  0
D  1  0  0
E  0  0  1
F  0  1  1
G  1  1  1
H  1  0  1

Wir führen zusätzlich zum Standpunktsystem xyz ein Objekt­koordinaten­system xyz wie oben abgebildet als kartesisches Linkssystem mit Achsen entlang der Kanten des Quaders ein. Allerdings sind die Kantenlängen nicht bekannt. (Die Werte in der Abbildung oben stellen die richtige Lösung dar.) So nehmen wir diese Längen als unbekannte Einheiten der Koordinatenachsen. Damit wird für jede Koordinatenachse eine andere Längeneinheit festgelegt. Nun weisen wir den Punkten A…H die rechts gegebenen Objektkoordinaten zu. Diese nehmen wir als fehlerfrei an.

Die räumliche Transformation vom Objektsystem ins Standpunktsystem muss

1. drei Maßstabsänderungen der Achsen x,y,z und danach
2. eine Rotation um die Euler-Achse oder
   drei Rotationen um Koordinatenachsen x,y,z

bewirken. Die passende Transformation ist also eine 9-Parameter-Transformation Typ 2.

Aus diesen Koordinaten kann nur die Affintransformation und die 9 Parameter Transformation Typ 2 sinnvoll berechnet werden. Für die anderen Transformationen passen die identischen Punkte nicht näherungsweise zusammen (große Restklaffungen).

Ergebnis für die 9 Parameter Transformation Typ 2 (3 Maßstäbe ⇒ Rotation)

Die Methode der Kleinsten Quadrate konvergierte nach 3 Iterationen.

Die Restklaffungen der Objektsystemkoordinaten x,y,z sind Null, weil diese als fehlerfrei gelten. Die Restklaffungen der Standpunktsystemkoordinaten X,Y,Z betragen maximal 0.017 und sind somit plausibel.

Weisen Sie nach, dass die neuen Standpunktsystemkoordinaten X,Y,Z der 9-Parameter-Transformation Typ 2 genau einen Quader bilden. Hinweis: Koordinaten speichern und in berechnen. Überzeugen Sie sich, dass das mit der Affintransformation nur näherungsweise der Fall wäre.

Nutzen Sie die Schaltfläche , um die entgegengesetzte Transformation zu berechnen. (Javascript darf nicht deaktiviert sein.) Beachten Sie, dass die 9-Parameter-Transformation Typ 1 nun die gesuchte Transformation ist. Die Neupunktkoordinaten sind identisch.