START Erste Schritte English Anleitung : Geodätische Linien

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Berechnung Steuerkurs Geodätische Linie von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario) Erzeugung von Punkten auf der berechneten geodätischen Linie Punkte auf der geodätischen Linie von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario) Fehlerfortpflanzung Fehlerfortpflanzung bei der Berechnung geodätischer Linien In der Bibliothek
Aus drei gegebenen Größen einer geodätischen Linie werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

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Geodätische Linie PQ in orthographischer Projektion:
Innerhalb PQ wird die nördliche Grenzbreite erreicht
Geodätische Linie PQ in orthographischer Projektion: Die Grenzbreite φm wird innerhalb PQ erreicht.
Geodätische Linie PQ in Mollweide-Projektion:
Innerhalb PQ wird keine Grenzbreite erreicht
Geodätische Linie PQ in Mollweide-Projektion: Die Grenzbreite φm wird außerhalb PQ erreicht.

Es gibt sechs ausgezeichnete Kurven, die zwei gegebene Punkte P und Q auf einem Ellipsoid verbinden können:

Eine geodätische Linie ist die kürzeste Kurve innerhalb einer Fläche, die zwei gegebene Punkte verbindet. In unserem Fall ist die Fläche immer ein Rotationsellipsoid, welches die Erdfigur approximiert.

Es gibt im Wesentlichen 6 Größen, die den Verlauf einer geodätischen Linie PQ beschreiben:

Daneben haben noch folgende Größen eine gewisse Bedeutung:

Statt der ellipsoidischen Breiten φ können für P,Q,m auch die reduzierten Breiten β oder die geozentrischen Breiten ψ verwendet werden.

Meridianschnitt

Meridianschnitt

P Punkt auf dem Ellipsoid
P′Punkt auf der Umkugel
O Geozentrum
a große Halbachse
b kleine Halbachse
m Meridianbogenlänge
ρRadius des Parallelkreises
N Querkrümmungsradius
φellipsoidische Breite
ψgeozentrische Breite
βreduzierte Breite
μrektifizierte BreiteGlühbirne

START Erste Schritte English Berechnung

Von diesen 15 möglichen Größen müssen drei gegeben sein, um die restlichen 12 Größen berechnen zu können. Die beiden klassischen geodätischen Hauptaufgaben auf dem Rotationsellipsoid sind:

gegebene Größen
1. HauptaufgabeφP, αP, s
2. HauptaufgabeφP, φQ, Δλ

Aber auch fast alle anderen Kombinationen bekannter Größen werden berechnet. In wenigen Fällen ist eine Berechnung praktisch nicht möglich, entweder weil die Aufgabe prinzipiell theoretisch unlösbar ist, oder weil ein Lösungsverfahren vorerst noch nicht implementiert ist.

In manchen Fällen ist die Lösungen nicht eindeutig. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Wenn man die ellipsoidische Längendifferenz Δλ berechnet hat, kann man mit der ellipsoidischen Länge λP sofort λQ berechnen und umgekehrt. Dies kann manuell erfolgen oder mit der Funktion Koordinatenliste erzeugen.

Die Berechnung erfolgt teilweise iterativ. Die erweiterte Einstellung ''Konvergenzkriterium'' beeinflusst, wie viele Iterationsschritte ausgeführt werden.

Wenn beide Punkte in Äquatornähe liegen oder ein Punkt in Polnähe liegt, kann die Berechnung ungenau sein, worauf eine Warnung hinweist, oder sogar scheitern. An einer Lösung wird gearbeitet.

START Erste Schritte English Steuerkurs

Dieses Symbol zeigt den grobe Verlauf der geodätischen Linie PQ an:

von Südwest nach Nordostauf dem Äquator von West nach Ost
von Nordost nach Südwestauf dem Äquator von Ost nach West
von Nordwest nach Südostauf dem Meridian von Süd nach Nord
von Südost nach Nordwestauf dem Meridian von Nord nach Süd
von Südwest nach Südost unter Berührung des nördlichen Grenzparallelkreises
von Südost nach Südwest unter Berührung des nördlichen Grenzparallelkreises
von Nordwest nach Nordost unter Berührung des südlichen Grenzparallelkreises
von Nordost nach Nordwest unter Berührung des südlichen Grenzparallelkreises

START Erste Schritte English Geodätische Linie von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario)

Wir betrachten folgende Punkte in ellipsoidischen Koordinaten bezogen auf :

ellipsoidische
PunktBreiteLängeHöhe
Dresden (Sachsen), Mittelpunkt des Zentralgebäudes der Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden 51.037512°13.735186°120 m
Dresden (Ontario), St. Andrews Presbyterian Church 42.590278° -82.181667°183 m

Die zweite Hauptaufgabe soll auf dem WGS84-Ellipsoid gelöst werden. Die Höhen werden hinfort Null gesetzt.

und ''Rechnen'' klicken

Ergebnis: Die Länge der Linie beträgt s = 6848049 m. Das Vorwärtsazimut am Anfangspunkt beträgt αP = 303.521454°. Das Rückwärtsazimut am Endpunkt beträgt αQ = 45.4313890°.

Aufgabe: Nutzen Sie Loxodrome von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario), um die Bogenlänge zwischen diesen Punkten auf der Loxodrome zu bestimmen. (Lösung: Diese beträgt sLox = 7373778 m und ist damit fast um 8% größer als die Bogenlänge auf der geodätischen Linie.)

Nun soll der Mittelpunkt M auf der geodätischen Linie gefunden werden. Dazu beginnen wir im Anfangspunkt P (Sachsen) mit demselben Vorwärtsazimut αP = 303.521454°, gehen aber nur die halbe Strecke s/2 = 6848049 m/2. Das ist eine ersten Hauptaufgabe.

und ''Rechnen'' klicken

Ergebnis: Der Mittelpunkt M wird in dieser Rechnung als Q bezeichnet. Die ellips. Breite vom M beträgt φM = 57.7794406°. Die ellips. Länge vom M errechnet sich wie folgt: λM = 13.735186° - 52.931461° = -39.196275° = 320.803725°. Das Azimut am Punkt M in Richtung Ontario gesehen beträgt αM = 259.3707113°. Das entspricht einem Steuerkurs von Südost nach Südwest unter Berührung des nördlichen Grenzparallelkreises. Der Punkt M wird also erst erreicht, nachdem die geodätische Linie PM die Grenzbreite φm = 58.3981055° erreicht hat.

Zur Kontrolle gehen wir von Q (Ontario) mit dem Rückwärtsazimut To check this, we go from Q (Ontario) with reverse azimuth αQ, wiederum nur die halbe Strecke in Richtung P.

und ''Rechnen'' klicken

Ergebnis: Der Mittelpunkt M wird in dieser Rechnung als P bezeichnet. Die ellips. Breite und das Azimut am Punkt M stimmen mit hoher Genauigkeit überein. Die ellips. Länge von M errechnet sich wie folgt: λM = -82.181667° + 42.985389° = -39.196278° = 320.803722°. Auch dieser Wert stimmt mit der vorigen Rechnung sehr gut überein.

Geodätische Linie zwischen Dresden (Sachsen) und
Dresden (Ontario)
Geodätische Linie zwischen Dresden (Sachsen) und Dresden (Ontario)

Der Punkt M liegt südöstlich von Kap Farvel (Südspitze von Grönland) etwa auf der Grenze zwischen Labradorbecken und Irmingerbecken.

START Erste Schritte English Erzeugung von Punkten auf der berechneten geodätischen Linie

Die Aufgabe besteht darin, auf der berechneten geodätischen Linie gleichabständige Punkte zu erzeugen und diese in einer Koordinatenliste zusammenzufassen. Der erste Punkt A dieser Liste muss nicht unbedingt der Punkt P sein und der letzte Punkt E dieser Liste muss nicht unbedingt der Punkt Q sein. Statt dessen werden die Punkte über ihre Bogenlängen sA, sE entlang der geodätischen Linie bezogen auf sP = 0 spezifiziert. Der Punkt A=P würde beispielsweise mit sA = 0 adressiert und der Punkt E=Q mit sE = s. Das sind gleichzeitig die Ausfallwerte, wenn keine Bogenlängen spezifiziert werden. Der Mittelpunkt der geodätischen Linie PQ würde beispielsweise mit s/2 adressiert. A oder E dürfen auch außerhalb von PQ, aber nicht extrem weit von P oder Q entfernt liegen.

Weil bisher nur mit ellipsoidischen Längendifferenzen Δλ gearbeitet wurde, benötigen wir außerdem von einem Punkt P oder Q oder A oder E eine absolute ellipsoidische Länge λ.

Die Gleichabständigkeit der Punkte und die Zugehörigkeit zur gewünschten geodätischen Linie kann mit Hilfe von überprüft werden. Seitenlängen und Äquatorazimute müssen für alle Polylinienseiten übereinstimmen. Äquatorazimute müssen auch mit der Vorgabe α0 übereinstimmen. Die Gleichabständigkeit hat eine hohe, aber nicht die höchste Genauigkeit.

Beispiel: Möchten Sie nur die Punkte P und Q in der Koordinatenliste haben, wählen Sie n = 2 als Punktanzahl und lassen Sie die Felder für die Bogenlängen leer.

Die Koordinatenliste besteht aus ellipsoidischen Breiten und Längen. Als ellipsoidischen Höhen wird Null ausgegeben. Die Koordinaten können mit in andere Systemtypen umgewandelt werden.

Die Koordinatenliste kann eines der folgenden Spaltenformate erhalten:

Koordinaten
Nur die Koordinaten werden gespeichert.
Punktname Koordinaten
Die fortlaufenden Bogenlängen werden als Punktnamen verwendet.
Punktname Code Koordinaten
Die Punktnamen werden automatisch erzeugt. Die fortlaufenden Bogenlängen werden als Code verwendet.

START Erste Schritte English Punkte auf der geodätischen Linie von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario)

Wir berechnen auf der geodätischen Linie von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario) neun gleichabständige Punkte, der ersten Punkt ist Dresden (Sachsen) und der letzte Dresden (Ontario):

und ''Erzeugen'' klicken
Geodätische Linie zwischen Dresden (Sachsen) und
Dresden (Ontario)
Geodätische Linie zwischen Dresden (Sachsen) und Dresden (Ontario). Die Punkte sind in der Abbildung vereinfacht durch Geraden verbunden.

Der fünfte Punkt ist der Mittelpunkt und wird mit φ = 57.77944707385° λ = -39.1962115331° = 320.8037884669° erhalten. Die letzten Ziffern weichen geringfügig vom oben berechneten Mittelpunkt ab, denn wie gesagt, wird die Gleichabständigkeit der Punkte mit hoher, aber nicht immer mit der höchsten Genauigkeit realisiert. Wenn man diese neun Punkte mit berechnet, erhält man zwar ein korrektes und exakt konstantes Äquatorazimut von α0 = 328.3121600°, jedoch differieren die Polylinienseitenlängen um maximal 7 m.

Wir möchten jetzt noch weitere Punkte zwischen den beiden nördlichsten Punkten erzeugen, und zwar im Abstand von 1000 m. Dazu wählen wir die Bogenlängen sA = 2568018.4 m; sE = 3424024.5 m und den Punktabstand Δ = 1000 m.

und ''Erzeugen'' klicken

Wir erhalten 856 Punkte mit tatsächlichen Abständen zwischen Δmin = 1001.1757 m und Δmax = 1001.1768 m. Die Differenz zum gewünschten Wert Δ = 1000 m kommt dadurch zustande, dass die Linienlänge kein ganzzahliges Vielfaches des vorgegebenen Punktabstands ist, so dass der Punktabstand geringfügig angepasst werden musste. Die Äquatorazimute betragen alle exakt α0 = 328.3121600. Der nördlichste Punkt hat eine ellips. Breite von φm = 58.39810555 bei der Bogenlänge φm = 2684154.9. Diese Ergebnisse stimmen exakt mit den oben berechneten Werten für den Grenzparallelkreis überein.

START Erste Schritte English Fehlerfortpflanzung

Wenn die Berechnungsaufgabe es wahrscheinlich macht, dass interne Rundungsfehler die Ausgabe verfälschen, wird eine Warnung ausgegeben.

Wenn gegebene Größen nicht fehlerfrei bekannt sind, können Sie berechnen, wie stark sich diese Fehler auf die berechneten Größen fortpflanzen. Siehe hierzu .

START Erste Schritte English Fehlerfortpflanzung bei der Berechnung geodätischer Linien

Mit dem Rechenwerkzeug kann man auch Meridianbogenlängen berechnen, indem man einfach Δλ = 0 setzt. So erhält man für den Meridianbogen auf dem Bessel-Ellipsoid zwischen den Parallelkreisen φP = 59° und φQ = 60° die Bogenlänge s = 111390.561 m. Mit dem Rechenwerkzeug erhält man denselben Wert, aber mit noch mehr Ziffern: s = 111390.5612847 m

Möchte man nun umgekehrt aus φP = 59°, φQ = 60°, s = 111390.561 m zurück auf Δλ = 0 schließen, ergibt sich keine Lösung. Der Grund ist, dass s abgerundet wurde und somit zu kurz ist. Eine winzige Verlängerung auf s = 111390.562 m schafft Abhilfe und liefert zwei Lösungen Δλ = ±0.00025° ≈ ±0.9''. Geometrisch führen wir hier einen Schnitt von Parallelkreis und ellipsoidischem Kreisbogen aus, der zwei Schnittpunkte ergibt. Diese liegen jeweils etwa 27 m vom gesuchten Meridian entfernt. Grund für die große wahre Abweichung ist die ungünstige Fehlerfortpflanzung, auch als ''schleifender Schnitt'' bezeichnet.

Man konnte diese Situation auch ohne Kenntnis der wahren Lösung erfassen, indem man eine Fortpflanzung des Fehlers in s berechnet. Im folgenden Beispiel nehmen wir einen Maximalfehler von Δs = 0.001 an.

und ''Rechnen'' klicken

Das ergibt eine Abweichung in Δλ von 0.00011° ≈ 0.4''.

Aufgabe: Wenn Sie auch für φP und φQ Fehlerwerte spezifizieren, erhalten Sie kein Ergebnis. Bitte finden Sie heraus, warum.

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Link Autor(en)Titel Jahr Typ Seiten
MByte
PDF: offener ZugriffLehmann RGeodätische Berechnungen auf dem Rotationsellipsoid2019Lehr64
2.2
PDF: beschränkter ZugriffPanou G, Korakitis RGeodesic equations and their numerical solutions in geodetic and Cartesian coordinates on an oblate spheroid2017GruF12
0.1
PDF: offener ZugriffDeakin RE, Hunter MNGeometric Geodesy Part A2013Lehr151
1.1
PDF: offener ZugriffDeakin RE, Hunter MNGeometric Geodesy Part B2010Lehr212
3.7
PDF: offener ZugriffDeakin RE, Hunter MNGeodesics on an ellipsoid - Bessel's method2009Aufs66
0.6
PDF: offener ZugriffDeakin RE, Hunter MNGeodesics on an ellipsoid - Pitman's method2007Aufs19
0.4
©Rüdiger Lehmann   
24.10.2021 21:27 (Zeitzone Berlin)
STARTAnleitungwikipedia iconruediger.lehmann@htw-dresden.deHTW Dresden, Fakultät Geoinformation