PRE_tutorial

Aufgabe

Hansensche Aufgabe
Hansensche Aufgabe

Die klassische Methode der Punktpaarbestimmung (Hansensche Aufgabe) geht von zwei unbekannten Standpunkten P,Q aus, auf denen die Gegensichtrichtungen rPQ und rQP sowie die Richtungen zu zwei Festpunkten A,B gemessen werden. Zu bestimmen ist das Punktpaar P,Q aus folgenden Werten: 

Punkt   Y [m]     X [m]        
A      472.29    287.45
B      537.65    248.08

Standpunkt P    Horizontalrichtung      Standpunkt Q    Horizontalrichtung
 Zielpunkt A     0.000 gon               Zielpunkt A      0.000 gon
 Zielpunkt Q    43.231 gon               Zielpunkt B    297.850 gon
 Zielpunkt B    89.424 gon               Zielpunkt P    371.323 gon

Dieses Problem ist nicht durch elementare Trigonometrie lösbar.

Variante 1: @Vorwärtsschnitt@e und Transformation

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

PRE_unic

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:


Spaltenformat:

Ein lokales Hilfskoordinatensystem mit willkürlicher Längen-einheit wird definiert. Die x-Achse verläuft parallel zu PQ. Die Berechnung ist rein zweidimensional, also können alle Höhen weggelassen werden.

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:


Format Zielpunktzeile
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Im Hilfskoordinatensystem können A und B von P und Q durch @Vorwärtsschnitt@e berechnet werden.
IN DUBIO PRO GEO findet den Rechenweg allein.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in auf Komma setzen)

Probieren Sie es aus: [COMPUTE] liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

zwei @Vorwärtsschnitt@e

2 benutzten bekannte Punkte: lokal, kartesisches @Linkssystem@

PNameYX
P100100
Q100200

Eingabe-Messwerte

StandPname
P
ZielPnamer
A 0
Q 43.23100
B 89.42400
StandPname
Q
ZielPnamer
A 0
B 297.8500
P 371.3230

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist. Es wird empfohlen, die berechneten Punkte als Koordinatenliste zu speichern, um sie in der nachfolgenden Rechnung schnell wieder laden zu können.

GrößevonnachWerteMin.@Median@Max …
X A 137.4682149
Y A 1 69.75843115
X B 171.8082470
Y B 1 163.6954251
e A B 1 100.0169818
e A P 1 48.14997004
e A Q 1 69.46061211
e B P 1 95.98714248
e B Q 1 69.65545292
e P Q 1 100.0000000
o P 1 356.7690000
o Q 1 228.6770000
t A P 1 156.7690000
t A Q 1 28.67700000
t B P 1 246.1930000
t B Q 1 326.5270000
t P Q 1 0

Winkeleinheit = GonAZIPNSORT.

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

PRE_contp

Winkeleinheit   Notiz

Quellsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:

Mit den nun in beiden Systemen bekannten Punkten A und B kann eine Transformation erfolgen, bei der P und Q ins Ausgangssystem transformiert werden.

Zielsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:

Die einzige sinnvoll berechenbare Transformation ist eine Helmert-Transformation, und so wird nur diese berechnet. Weil für nur zwei @identische Punkte@ A,B keine Ausgleichung erfolgen kann, können Gewichte fehlen.

für erste, zweite (und dritte) Koordinate TRAFORDER
Quellsystem
Zielsystem

Probieren Sie es aus: [COMPUTE] liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Transformation ins Ausgangssystem

lokal, kartesisches Linkssystem ⇒ Ausgangssystem, kartesisches Linkssystem

lokal: 5 Punkte, Ausgangssystem: 2 Punkte, 2 @identische Punkte@

Pnameyx YX
A 69.75843 137.46821 472.29000 287.45000
B 163.69543 171.80825 537.65000 248.08000
P 100.00000 100.00000
Q 100.00000 200.00000

Helmert Transformation

Der Maßstabsfaktor ist nicht nähe­rungsweise 1 wegen der willkürlich gewählten Längeneinheit.

X
Y
 =
263.097649
357.236338
+
0.47861292 -0.59407461
0.59407461 0.47861292
.
x
y
berechn.lokalAusgangssystem
PunkteYX YX
A 69.7584312 137.4682149 472.2900000 287.4500000
B 163.6954251 171.8082470 537.6500000 248.0800000
P 100.0000000 100.0000000 464.5050904 251.5514801
Q 100.0000000 200.0000000 523.9125513 299.4127720

Für die Rechenprobe ist es nützlich, diese Koordinatenlisten zu speichern.

exakte Lösung ⇒ keine @Restklaffung@en

beide Listen berechneter Punkte
Transform. Translationsparameter tx, ty Maßstabsfaktor(en) mx, my Rot.winkel φ
Helmert 263.097649 357.236338 0.76288595 56.8261517

Variante 2: Vierecksberechnung und Polarpunkte

Zunächst ist es nötig, die Horizontaldistanz eAB zu berechnen. Das geht am schnellsten mit . Alternativ kann eAB=100.0169818 aus der Universalrechner-Ergebnisliste der Lösungsvariante entnommen und mit dem Maßstabsfaktor m=0.76288594716549 aus der Transformation multipliziert werden. Diesen Schritt überspringen wir hier und nennen nur das Ergebnis: eAB=76.3015

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

PRE_quad

Winkeleinheit    Notiz

P wird im konvexen Viereck mit A, Q mit C und A mit D identifiziert. B bleibt bestehen. Die Winkel werden aus den gemessenen Richtungen abgeleitet.

Wenn das Viereck @konkav@ ist, muss A der innere Punkt sein.|If the quadrangle is @concave@, the inner point must be A.

Probieren Sie es aus: [COMPUTE] liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Hansensche Vierecksberechnung PBQA

PBQA wird als ebenes Viereck vollständig berechnet. Die Lösung der Hansenschen Aufgabe ist darin eingebettet:
Hansen(α1,α2,γ1,γ2)

Berechnung ORDERCOMPWert
α1=START 43.231000
α=START 89.424000
γ=START 102.15000
γ2=START 28.677000
f=START 76.301500
δ=π-α1-γ2 128.09200
α2=α-α1 46.193000
γ1=γ-γ2 73.473000
RA=f/abs(sin(α))/2 38.683321
RC=f/sin(γ)/2 38.172517
β=2π-α-γ-δ 80.334000
δ1=Hansen(α1,α2,γ1,γ2) 49.011201
β1=γ2+δ1-α2 31.495201
β2=β-β1 48.838799
δ2=δ-δ1 79.080799
a=2·RA·sin(δ2) 73.227194
d=2·RA·sin(β1) 36.732911
c=2·RC·sin(β2) 52.990490
⋮⋮

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

PRE_unic

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:


Spaltenformat:
Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:


Format Zielpunktzeile
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Mit den Seiten c und d und den Winkel δ und δ1 des ebenen Vierecks PBQA können die Punkte P und Q an A polar angehängt werden. B dient als Anschlusspunkt für die Richtungsorientierung.

Probieren Sie es aus: [COMPUTE] liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

P und Q polar an A anhängen

2 benutzte bekannte Punkte: lokal, kartesisches @Linkssystem@

PunktnameYX
A472.29287.45
B537.65248.08

Eingabe-Messwerte

r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

StandPname
A
ZielPnamere
Q 0 52.99049
B 49.0112
P 128.0920 36.73291

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.
Für die Rechenprobe ist es nützlich, die berechneten Koordinaten von P und Q in einer Koordinatenliste zu speichern.

GrößevonnachWerteMin.@Median@Max …
X P 1 251.5515040
Y P 1 464.5050956
X Q 1 299.4127641
Y Q 1 523.9125174
e A B 1 76.30154979
e B P 1 73.22723801
e B Q 1 53.13916722
e P Q 1 76.28854427
o A 1 85.50315178
t A B 1 134.5143528
t A P 1 213.5951518
t A Q 1 85.50315178

Winkeleinheit = GonAZIPNSORT

Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

PRE_unic

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Als Rechenprobe wird empfohlen, die Messwerte aus endgültigen Koordinaten zurückzurechnen.

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:


Format Zielpunktzeile
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Hierfür wird auf den Standpunkten P und Q jeweils die Nullrichtung nach A vorgegeben, so wie gemessen. Die anderen Zielpunkte werden als @blinde Zielpunkte@ notiert, so dass der Universalrechner versucht, die Messwerte aus Koordinaten zu berechnen.

Probieren Sie es aus: [COMPUTE] liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Messwerte aus Koordinaten zurückrechnen

4 benutzte bekannte Punkte: lokal, kartesisches @Linkssystem@

PNameYX
A472.29287.45
B537.65248.08
P464.51251.55
Q523.91299.41

Eingabe-Messwerte

StandPname
P
ZielPnamer
A 0
Q
B
StandPname
Q

Ein Vergleich mit den gemessenen Richtungen zeigt eine Übereinstimmung bis zur Anzahl der bei den Neupunktkoordinaten mitgeführten Ziffern.

ZielPnamer
A0
B
P

Ergebnisse

GrößevonnachWerteMinimum@Median@Maximum …
e A B 2 76.30154979 76.30154979 76.30154979
e A P 1 36.73334180
e A Q 1 52.98741360
e B P 1 73.22226779
e B Q 1 53.13714802
e P Q 1 76.28197428
o P 1 13.58629261
o Q 1 285.5057041
r P B 1 89.43177603
r P Q 1 43.23679228
r Q B 1 297.8436363
r Q P 1 371.3173808
t A P 1 213.5862926
t A Q 1 85.50570413
t B P 1 303.0180686
t B Q 1 383.3493404
t P Q 1 56.82308489

Winkeleinheit = GonAZIPNSORT