START Erste Schritte English Anleitung : Matrixrechnungen

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Eingabe-Matrix und Auswahl von Untermatrizen Rangbestimmung, Inverse Matrix Nahezu singuläre Matrix Hilbert-Matrix Matrix-Zerlegungen Arithmetische Ausdrücke in Matrizen Eigenschaften von Matrizen bestimmen
Mit einer Matrix oder mit einer ihrer Untermatrizen werden verschiedene Berechnungen angestellt: Inversion, Cholesky-, LU-, QR- oder RQ-Zerlegung, Eigen- und Singulärwertzerlegung, Rang, Determinante, Normen, etc.

START Erste Schritte English Eingabe-Matrix und Auswahl von Untermatrizen

Die zu untersuchende Matrix wird als tabellarischer Datensatz eingegeben, jede Matrixzeile in eine Texteingabefeldzeile. Hat eine Zeile weniger Elemente als andere, werden fehlende Felder aufgefüllt.

Wahlweise kann statt der Eingabe-Matrix auch deren Transponierte untersucht werden.

Wahlweise kann nicht die ganze Eingabe-Matrix untersucht werden, sondern nur eine Untermatrix, die aus einigen Zeilen und/oder Spalten der Eingabe-Matrix in beliebiger Reihenfolge besteht. Diese werden beispielhaft nach folgendem Muster angesprochen: 6-8,5,3-1 wählt die Zeilen oder Spalten 6,7,8,5,3,2,1 in dieser Reihenfolge aus.

START Erste Schritte English Rangbestimmung, Inverse Matrix

Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Vektorraums und stimmt mit der Dimension des von ihren Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums überein. Ist der Rang niedriger als das Minimum der Zeilenzahl und der Spaltenzahl, dann liegt eine rangdefekte Matrix vor. Durch unvermeidliche Rundungsfehler beim Rechnen kommt es oft zu rangerhöhenden Störungen, d.h. der Rang erscheint höher zu sein, als er eigentlich sein sollte. Um das zu vermeiden, wird hier mit einem Schwellwert gearbeitet, den rangerhöhende Störungen oft nicht überschreiten. Der Schwellwert kann als niedrig, normal oder hoch gewählt werden, auch in . Ein hoher Schwellwert bedeutet also z.B., dass Vollrang-Matrizen manchmal als rangdefekt eingestuft werden, ein niedriger Schwellwert bedeutet das Umgekehrte.

Bei quadratischen Vollrang-Matrizen (sogenannte reguläre Matrizen) wird die inverse Matrix berechnet und ausgegeben, andere Matrizen sind nicht invertierbar.

START Erste Schritte English Nahezu singuläre Matrix

1   0     0
1 1e-12   0
1   1   1e-14
eine nahezu
singuläre Matrix

Die rechte 3×3-Matrix ist nahezu singulär. In Abhängigkeit vom Schwellwert erhalten Sie verschiedene Ergebnisse für ihren Rang.

Schwellwertniedrignormalhoch
erhaltener Rang321

Nur bei niedrigem Schwellwert wird die Inverse berechnet, andernfalls wird von einer singulären Matrix mit rangerhöhenden Störungen ausgegangen.

und Rechnen

START Erste Schritte English Hilbert-Matrix

 1/1  1/2  1/3  1/4  1/5 ... 1/30
 1/2  1/3  1/4  1/5  1/6 ... 1/31
 1/3  1/4  1/5  1/6  1/7 ... 1/32
 1/4  1/5  1/6  1/7  1/8 ... 1/33
 1/5  1/6  1/7  1/8  1/9 ... 1/34
 1/6  1/7  1/8  1/9 1/10 ... 1/35
 1/7  1/8  1/9 1/10 1/11 ... 1/36
 ...                         ...
1/30 1/31 1/32 1/33 1/34 ... 1/59
30×30 Hilbert-Matrix

Hilbert-Matrizen werden in der numerischen Mathematik als Testmatrizen verwendet, da diese zwar positiv definit sind, aber mit wachsender Zeilen- und Spaltenzahl zur singulären Matrix tendieren. Die rechts dargestellte 30×30-Hilbert-Matrix wird hier mit dem Rang 12 berechnet, obwohl der Rang wie gesagt eigentlich gleich 30 ist.

Alle Elemente einer inversen Hilbert-Matrizen sind ganze Zahlen mit schachbrettartig alternierenden Vorzeichen. Werden nach der Inversion gebrochene Zahlen erhalten, erkennt man deutlich die Wirkung der begrenzten Rechengenauigkeit. Da die 30×30-Hilbert-Matrix hier wie gesagt als singulär gilt, wird leider keine Inverse berechnet.

und Rechnen   Beim Laden werden Projekteinstellungen angepasst.

Aufgabe: Spalten Sie mit Zeilen und/oder Spalten auswählen die linke obere 10×10-Untermatrix ab, die die 10×10-Hilbert-Matrix ist. Wählen Sie einen niedrigen Schwellwert und 17 Ziffern für Matrixelemente. Diese Matrix wird mit vollem Rang 10 berechnet, so dass eine Inverse berechnet und ausgegeben wird. Laden Sie diese Inverse in und bilden Sie erneut die Inverse. Vergleichen Sie mit der Ausgangsmatrix. Sie erhalten eine maximale Abweichung von 6.4·10-6.

START Erste Schritte English Matrix-Zerlegungen

Cholesky-Zerlegung

Der Cholesky-Faktor einer symmetrischen positiv definiten n×n-Matrix A ist eine untere n×n-Dreiecksmatrix L. Wenn man letztere mit ihrer Transponierten multipliziert, erhält man die ursprüngliche Matrix: A=L·LT. In der Regel macht sich eine Pivotisierung (Zeilen- und Spaltenvertauschung) erforderlich oder ist sinnvoll. Dann wird eine n×nPermutationsmatrix P erzeugt, so dass die Faktorisierung lautet: P·A·PT=L·LT.

Für symmetrische semi-definite Matrizen ist eine solche Zerlegung ebenfalls möglich, wobei jedoch die Matrix L nicht dreieckig, sondern trapezförmig ist, d.h. rechts fehlen Spalten. Die Anzahl der Spalten von L ist gleich dem Rang von A.

Die Cholesky-Zerlegung wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Matrix-Inversion benutzt.

LU-Zerlegung

Die LU-Zerlegung einer allgemeinen n×n-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer unteren n×n-Dreiecksmatrix L mit ausschließlich Einsen auf der Hauptdiagonale und einer oberen n×n-Dreiecksmatrix U, so dass A=L·U gilt. In der Regel macht sich eine Pivotisierung (Zeilen- und Spaltenvertauschung) erforderlich oder ist sinnvoll. Dann wird eine n×n-Permutationsmatrix P erzeugt, so dass die Faktorisierung lautet: P·A=L·U.

Die LU-Zerlegung wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Matrix-Inversion benutzt, wenn keine Cholesky-Zerlegung möglich ist. Nur in diesem Fall wird sie also hier berechnet.

QR-Zerlegung oder RQ-Zerlegung

Die QR-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A mit m≤n ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×m-Orthogonalmatrix Q und einer oberen m×m-Dreiecksmatrix R, so dass A=Q·R gilt.

Die RQ-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A mit n≤m ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer oberen n×n-Dreiecksmatrix R, und einer n×m-Orthogonalmatrix Q so dass A=R·Q gilt.

Bei quadratischen Matrizen ist wahlweise eine QR- oder RQ-Zerlegung möglich.

Die Matrix Q wird so gewählt, dass R nicht-negative Hauptdiagonalelemente hat.

Eigenwert-Zerlegung

Die Eigenwert-Zerlegung einer allgemeinen n×n-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×n-Matrix Q, deren Spalten die Eigenvektoren sind, und einer n×n-Diagonalmatrix Λ, die die Eigenwerte enthält, so dass A·Q=Q·Λ gilt. Obwohl A nur reelle Elemente enthält, können in Q und Λ komplexe Zahlen auftreten.

Vorerst wird die vollständige Eigenwert-Zerlegung nur für symmetrische Matrizen und Dreiecksmatrizen sowie für Matrizen bis zum Typ 3×3 unterstützt. Die vollständige Eigenwertzerlegung wird 2021 realisiert.

Die Berechnung charakteristischer Polynome für größere Matrizen könnte ungenau sein, weil das benutzte Verfahren von Faddejew und Leverrier numerisch instabil sein kann. Die Berechnung der Nullstellen solcher Polynome mit ist ebenfalls kritisch und könnte ungenaue Ergebnisse liefern oder sogar scheitern.

Die Eigenwerte sind betragsmäßig aufsteigend sortiert und die zugehörigen Eigenvektoren in derselben Reihenfolge.

Singulärwert-Zerlegung

Die Singulärwert-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×n-Orthogonalmatrix U und einer n×m-Diagonalmatrix S sowie einer m×m-Orthogonalmatrix V, so dass A=U·S·VT gilt. Leider wird diese Zerlegung im Moment nur für 2×2 und 3×3-Matrizen unterstützt.

START Erste Schritte English Arithmetische Ausdrücke in Matrizen

161063e-4    8.1+80063e-4     pi*16.1063/pi
1610.63%     161063/10000     log(exp(16.1063))
8.1+8.0063   (3,3009-1)*7,0   sqrt(16.1063^2)
2,3009*7,0   3,3009*7,0-7     asin(sin(0.161063))*100
Eine 4×3-Matrix mit 12 identischen Elementen

Dieses Beispiel zeigt eine 4×3-Matrix, deren Elemente alle den identischen Wert 16.1063 besitzen. Man erkennt daran, welche breite Palette von arithmetischen Ausdrücken IN DUBIO PRO GEO akzeptiert.

Siehe Arithmetische Ausdrücke in Eingabefeldern.

und Rechnen

Beachten Sie, dass der Rang dieser Matrix gleich Eins ist.

START Erste Schritte English Eigenschaften von Matrizen bestimmen

Nur für symmetrische positiv definite und positiv semi-definite Matrizen wird eine Cholesky-Zerlegung berechnet. Ist das der Fall, dann hat die zerlegte Matrix diese Eigenschaft. Ist der Cholesky-Faktor sogar quadratisch, dann ist die Matrix sogar positiv definit.

0.0  -0.80  -0.60
0.8  -0.36   0.48
0.6   0.48  -0.64
Eine orthogonale Matrix

Eine quadratische orthogonale Matrix kann man daran erkennen, dass ihre Inverse gleich der Transponierten ist. Das Beispiel rechts zeigt eine orthogonale Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten. Die Inverse ist gleich der transponierten Matrix. Die Singulärwerte sind alle gleich 1. Es handelt sich nicht um eine Rotationsmatrix, weil die Determinate -1 beträgt, nicht +1. Zusätzlich zur Rotation liegt hier noch eine Reflexion (Spiegelung) vor.

und Rechnen

Um herauszufinden, ob eine Matrix orthogonal ist, kann man sich die QR- oder RQ-Zerlegung anschauen. Ist R eine Einheitsmatrix, dann ist die zerlegte Matrix orthogonal. Das funktioniert auch für nicht-quadratische Matrizen.

Schon gewusst? Die Zahlendarstellung in Matrizen kann in den vielfältig modifiziert werden.

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Ausgleichungslehrbücher
©Rüdiger Lehmann   
24.10.2021 20:41 (Zeitzone Berlin)
STARTAnleitungruediger.lehmann@htw-dresden.deHTW Dresden, Fakultät Geoinformation